Soit N le nombre d'individus qui sont nés ou naitront au total dans toute l'histoire de l'humanité.
En prenant un individu au hasard parmi ces individus, il y a 95% de probabilité que cet individu fasse partie des 95% "derniers" individus à être né un jour (dans le passé ou le futur). Si l'on prend maintenant comme individu au hasard un individu n contemporain, né aujourd'hui, alors le même raisonnement s'applique si l'on suppose l'équiprobabilité : il y a 95% de probabilité que cet individu fasse partie des 95% "derniers" individus.
Compte tenu du fait :
- Qu'on estime à 60 milliards le nombre d'individus à être né depuis l'histoire de l'humanité jusqu'à la naissance de n.
- Qu'il y a 95% de probabilité que l'individu n fasse partie des 95% (= 19/20) derniers humains, ou autrement dit qu'il ne fasse pas partie des 5% (=1/20) premiers.
Cela permet de déduire qu'il y a 95% de probabilité que le nombre d'individus N soit maximum de 60x20=1200 milliards.
Partant de cette information, on peut tenter une extrapolation de la durée de "survie" de l'humanité en fonction des estimations d'évolution de la population du monde, qui peuvent varier selon les sources, mais en supposant une évolution de la population stabilisée à 10 milliards et une espérance de vie moyenne de 80 ans, on arrive à environ 9120 ans, avant d'atteindre 1200 milliards d'individus cumulés.
La conclusion finale est donc qu'il y a 95% de probabilité d'une extinction de l'humanité avant 9120 ans dans le futur.
L’énigme, comme problème de probabilité
L'argument de l'Apocalypse est quelquefois aussi présenté comme une énigme utilisant le théorème de Bayes.
Deux hypothèses sont en concurrence : la théorie A affirme que l’humanité disparaitra en 2150, et la théorie B affirme que cela sera beaucoup plus tard. Toujours selon l’hypothèse A, un humain sur 10 aura connu l’an 2000, et l’humanité aura compté 50 milliards d’individus depuis son origine. L’hypothèse B affirme qu’un humain sur 1 000 aura connu l’an 2000, et alors l’humanité aura compté le chiffre astronomique de 5 000 milliards de personnes.
La théorie A semble la moins probable : on lui associe la probabilité a priori de 1 %, tandis que la théorie B bénéficie d’une probabilité de 99 %. Maintenant, considérons un événement E, par exemple « un individu fait partie des 5 milliards d’individus qui ont connu l’an 2000 ». On peut se demander « Quelle est l’hypothèse la plus probable, sachant cet événement ? » et appliquer la formule de Bayes.
Cette formule donnerait un résultat surprenant : l’hypothèse A grimperait à 50,25 % et B chuterait à 49,75 %.
